將函數y=sinx的圖象上所有點的橫座標縮短到原來的倍（縱座標不變），再將所得的圖象向左平移個單位長度後得到函...

問題詳情：

將函數y=sinx的圖象上所有點的橫座標縮短到原來的倍（縱座標不變），再將所得的圖象向左平移個單位長度後得到函數f（x）的圖象

（1）寫出函數f（x）的解析式；

（2）若對任意的x∈[﹣，]，f2（x）﹣mf（x）﹣1≤0恆成立，求實數m的取值範圍；

（3）求實數a和正整數n，使得F（x）=f（x）﹣a在[0，nπ]上恰有2017個零點．

【回答】

【考點】HJ：函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．

【分析】（1）利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，求得f（x）的解析式．

（2）令t=f（x）∈[0，1]，則g（t）=t2﹣mt﹣1≤0恆成立，再根據二次函數的*質可得g（0）=﹣1≤0，且 g（1）=﹣m≤0，由此解得m的範圍．

（3）由題意可得f（x）的圖象和直線y=a在[0，nπ]上恰有2017個交點，分類討論，求得a、n的值．

【解答】解：（1）把函數y=sinx的圖象上所有點的橫座標縮短到原來的倍（縱座標不變），可得y=sin2x的圖象；

再將所得的圖象向左平移個單位長度後得到函數f（x）=sin2（x+）=sin（2x+）的圖象，

故函數f（x）的解析式為 f（x）=sin（2x+）．

（2）若對任意的x∈[﹣，]，2x+∈[0，]，f（x）=sin（2x+）∈[0，1]，f2（x）﹣mf（x）﹣1≤0恆成立，

令t=f（x）∈[0，1]，則g（t）=t2﹣mt﹣1≤0恆成立，故有g（0）=﹣1≤0，且 g（1）=﹣m≤0，解得m≥0．

（3）∵F（x）=f（x）﹣a在[0，nπ]上恰有2017個零點，故f（x）的圖象和直線y=a在[0，nπ]上恰有2017個交點．

在[0，π]上，2x+∈[，]．

①當a＞1，或a＜﹣1時，f（x）的圖象和直線y=a在[0，nπ]上無交點．

②當a=1，或a=﹣1時，f（x）的圖象和直線y=a在[0，π]僅有一個交點，

此時，f（x）的圖象和直線y=a在[0，nπ]上恰有2017個交點，則n=2017．

③當﹣1＜a＜，或＜a＜1時，f（x）的圖象和直線y=a在[0，π]上恰有2個交點，

f（x）的圖象和直線y=a在[0，nπ]上有偶數個交點，不會有2017個交點．

④當a=時，f（x）的圖象和直線y=a在[0，π]上恰有3個交點，

此時，n=1008，才能使f（x）的圖象和直線y=a在[0，nπ]上有2017個交點．

綜上可得，當a=1，或a=﹣1時，n=2017；當a=時，此時，n=1008．

知識點：三角函數

題型：解答題