如圖,直線與x軸交於點A,與y軸交於點B,拋物線經過A,B兩點,與x軸的另一個交點為C.(1)求拋物線的解析式...

問題詳情：

如圖,直線與x軸交於點A,與y軸交於點B,拋物線經過A,B兩點,與x軸的另一個交點為C.

(1)求拋物線的解析式;

(2)點P是第一象限拋物線上的點,連接OP交直線AB於點Q,設點P的橫座標為m,PQ與OQ的比值為y,求y與m的函數關係式,並求出PQ與OQ的比值的最大值;

(3)點D是拋物線對稱軸上的一動點,連接OD,CD,設△ODC外接圓的圓心為M,當sin∠ODC的值最大時,求點M的座標.

【回答】

解:(1)在y=-x+3中,

令y=0得x=4,令x=0得y=3,

∴點A(4,0),B(0,3).

把A(4,0),B(0,3)的座標代入y=-x2+bx+c,得:

解得:

∴拋物線解析式為y=-x2+x+3.

(2)如圖①,過點P作y軸的平行線交AB於點E,

則△PEQ∽△OBQ,

∴,

∵=y,OB=3,

∴y=PE.

∵P(m,m2+m+3),E(m,m+3),

∴PE=(m2+m+3)-(m+3)=m2+m,

∴y=(m2+m)=-m2+m=-(m-2)2+,

∵0<m<4,

∴當m=2時,y最大值=,

∴PQ與OQ的比值的最大值為.

(3)由拋物線y=-x2+x+3易求C(-2,0),對稱軸為直線x=1.

∵△ODC的外心為點M,

∴點M在CO的垂直平分線上.

設CO的垂直平分線與CO交於點N,連接OM,CM,DM,如圖②,

則∠ODC=∠CMO=∠OMN,MC=MO=MD,

∴sin∠ODC=sin∠OMN=,

∴sin∠ODC的值隨着MO的減小而增大.

又MO=MD,

∴當MD取最小值時,sin∠ODC最大,

此時☉M與直線x=1相切,MD=2,

MN==,

∴點M(-1,-),

根據對稱*,另一點(-1,)也符合題意.

綜上所述,點M的座標為(-1,)或(-1,-).

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：綜合題