正方形内“奇妙点”及*质探究定义：如图1，在正方形ABCD中，以BC为直径作半圆O，以D为圆心,DA为半径作，...

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正方形内“奇妙点”及*质探究

定义：如图 1，在正方形ABCD中，以BC为直径作半圆O，以D为圆心,DA 为半径作，与半圆O交于点P.我们称点P为正方形ABCD的一个“奇妙点”.过奇妙点的多条线段与正方形 ABCD无论是位置关系还是数量关系，都具有不少优美的*质值得探究.

*质探究：如图 2，连接DP并延长交AB于点E，则DE为半圆O的切线.

*：连接OP，OD.

由作图可知，DP=DC，OP=OC，

又∵OD=OD.

 ∴△OPD≌△OCD.（SSS）

 ∴∠OPD=∠OCD=90°．

∴DE 是半圆O的切线.

问题解决：

（1）如图3，在图2的基础上，连接OE.请判断∠BOE 和∠CDO的数量关系，并说明理由；

（2）在（1）的条件下，请直接写出线段DE，BE，CD 之间的数量关系；

（3）如图 4，已知点P为正方形ABCD的一个“奇妙点”，点O为BC的中点，连接DP并延长交AB于点E，连接CP并延长交AB于点F，请写出BE和AB的数量关系，并说明理由；

（4）如图5，已知点E，F，G，H 为正方形ABCD的四个“奇妙点”.连接AG，BH， CE，DF，恰好得到一个特殊的“赵爽弦图”.请根据图形，探究并直接写出一个不全等的几何图形面积之间的数量关系

【回答】

解：（1）∠BOE=∠CDO……………………………………………………………1分

理由如下：

∵△OPD≌△OCD.

∴∠OPD=∠OCD=90°，∠POD=∠COD，∠CDO=∠PDO= ∠PDC.

∴∠POC+∠PDC=360°－∠OPD－∠OCD =180°.………………………………………2分

∵∠POC+∠BOP=180°，

∴∠BOP=∠PDC.……………………………………………………………………………3分

在 Rt△POE 和 Rt△BOE 中

∵OE=OE，OP=OB（由作图得出）.

∴△POE≌△BOE.

∴∠POE=∠BOE= ∠BOP…………………………………………4分

∵∠CDO=∠PDO=∠PDC.

 ∴∠BOE=∠CDO.…………………………………………………………………………5分

（2）线段DE，BE，CD 之间的数量关系是DE=BE+CD………………………………7分

（3）如答图，连接OE，OD，

由（1）可知，∠BOE=∠CDO.

又∵∠B=∠OCD=90°，点O为BC的中点，

 ∴tan∠BOE=tan∠CDO

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC.

（4）*不唯一，例如，△ABH的面积等于正方形EFGH的面积；正方形EFGH的面积等于正方形ABCD面积的等等.…………………………………12分

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