问题详情:
已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1时取得极值,且f(1)=-1.
(1)试求常数a,b,c的值.
(2)试判断x=±1是函数的极小值点还是极大值点,并说明理由.
【回答】
解:(1)f′(x)=3ax2+2bx+c.
因为x=±1是函数f(x)的极值点,
所以x=±1是方程f′(x)=0,即3ax2+2bx+c=0的两根,由根与系数的关系,得
又f(1)=-1,
所以a+b+c=-1.③
由①,②,③解得a=,b=0,c=-.
(2)f(x)=x3-x,
所以f′(x)=x2-=(x-1)(x+1).
当x<-1或x>1时,f′(x)>0;
当-1<x<1时,f′(x)<0.
所以函数f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增函数,在(-1,1)上是减函数.
所以当x=-1时,函数取得极大值f(-1)=1,当x=1时,函数取得极小值f(1)=-1.
知识点:导数及其应用
题型:解答题