已知圆C1的方程为(x－2)2+(y－1)2=，椭圆C2的方程为，C2的离心率为，如果C1与C2相交于A、B两...

问题详情：

已知圆C1的方程为(x－2)2+(y－1)2=，椭圆C2的方程为，C2的离心率为，如果C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C1的直径，试求：

  （I）直线AB的方程；          

  （II）椭圆C2的方程.

【回答】

（I）由e=，得=，a2=2c2,b2=c2。

设椭圆方程为+=1。又设A(x1,y1),B(x2,y2)。由圆心为(2,1)，得x1+x2=4,y1+y2=2。

又+=1，+=1，两式相减，得 +=0。

∴

∴直线AB的方程为y－1= －(x－2)，即y= －x+3。

（II）将y= －x+3代入+=1，得3x2－12x+18－2b2=0

又直线AB与椭圆C2相交，∴Δ=24b2－72>0。

由|AB|=|x1－x2|==,得·=。

解得  b2=8，故所求椭圆方程为+=1

知识点：圆与方程

题型：解答题