速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设...

问题详情：

速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为以t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．

（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；

（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；

（3）求DE的长；

（4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值．

【回答】

【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝60°，

∴当BQ＝2BP时，∠BPQ＝90°，

∴6+t＝2（6﹣t），

∴t＝3，

∴t＝3时，△BPQ是直角三角形．

（2）存在．

理由：如图1中，连接BF交AC于M．

∵BF平分∠ABC，BA＝BC，

∴BF⊥AC，AM＝CM＝3cm，

∵EF∥BQ，

∴∠EFM＝∠FBC＝∠ABC＝30°，

∴EF＝2EM，

∴t＝2•（3﹣t），

解得t＝3．

（3）如图2中，作PK∥BC交AC于K．

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝∠A＝60°，

∵PK∥BC，

∴∠APK＝∠B＝60°，

∴∠A＝∠APK＝∠AKP＝60°，

∴△APK是等边三角形，

∴PA＝PK，

∵PE⊥AK，

∴AE＝EK，

∵AP＝CQ＝PK，∠PKD＝∠DCQ，∠PDK＝∠QDC，

∴△PKD≌△QCD（AAS），

∴DK＝DC，

∴DE＝EK+DK＝（AK+CK）＝AC＝3（cm）．

（4）如图3中，连接AM，AB′

∵BM＝CM＝3，AB＝AC，

∴AM⊥BC，

∴AM＝＝3，

∵AB′≥AM﹣MB′，

∴AB′≥3﹣3，

∴AB′的最小值为3﹣3．

知识点：各地中考

题型：综合题