如图（1），在平面直角坐标系中抛物线与轴交于点，与轴交于点，且经过点，连接，，作于点，将沿轴翻折，点的对应点为...

问题详情：

如图（1），在平面直角坐标系中抛物线与轴交于点，与轴交于点，且经过点，连接，，作于点，将沿轴翻折，点的对应点为点．解答下列问题：

（1）抛物线的解析式为_______，顶点坐标为________；

（2）判断点是否在直线上，并说明理由；

（3）如图（2），将图（1）中沿着平移后，得到．若边在线段上，点在抛物线上，连接，求四边形的面积．

【回答】

（1），（4，）；（2）在，理由见解析；（3）22．

【解析】

（1）根据待定系数法将B、C两点坐标直接代入解析式即可求出a、b，用*法将解析式变形为顶点式即可得出顶点坐标；

（2）由三角形ABO是直角三角形，求得∠MAO=∠B，继而求得tan∠MAO= tan∠NAO = tan∠CAO=，从而∠CAO=∠NAO，即AC与AN共线；

（3）由平移规律可知，AF//OB，根据 直线OB解析式求出直线AF解析式，进而求出直线AF与抛物线交点，得F坐标，即可四边形的面积等于四边形AODF面积即可解．

【详解】

解：把点，点代入抛物线解析式得：

 ，解得，

即抛物线解析式为：，

∴，

∴顶点坐标为（4，）

故*为：，（4，）；

（2）∵与y轴交于A点，

∴A点坐标为(0，4)，

又∵B点坐标为(8，4)，故AB⊥y轴，

∵AM⊥OB，

∴∠MAB+∠B=∠MAB+∠MAO，

∴∠MAO=∠B，

∵OA=4，AB=8，

∴tan∠MAO= tan∠B=，

将沿轴翻折，点的对应点为点．

∴tan∠MAO= tan∠NAO =，

又∵ OC=2，tan∠CAO，

∴∠CAO=∠NAO，即AC与AN共线，

故N点直线AC上；

（3）∵B点坐标为(8，4)，

∴直线OB解析式为，

平移规律可知，AF//OB，又因为点A坐标为，

∴直线AF解析式为，

联立解析式得方程组： ，解得，，

故F点坐标为：，

由平移*质可知四边形AODF是平行四边形，≌．

∴四边形的面积=平行四边形AODF面积，

∵平行四边形AODF面积=，

∴四边形的面积为22．

【点睛】

本题是函数与几何综合题，涉及了待定系数法求解析式、二次函数、一次函数的应用、解直角三角形、平移、轴对称等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，会构建直角三角形求点坐标，学会构建一次函数，利用方程组求两函数图象的交点坐标，属于中考压轴题．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：综合题