问题详情:
已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴为直线x=,交x轴于点A、B,交y轴于点C,且点A坐标为A(﹣2,0).直线y=﹣mx﹣m(m>0)与抛物线交于点P、Q(点P在点Q的右边),交y轴于点H.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若n=﹣5,且△CPQ的面积为3,求m的值;
(3)当m≠1时,若n=﹣3m,直线AQ交y轴于点K.设△PQK的面积为S,求S与m之间的函数解析式.
【回答】
解:(1)将点A(﹣2,0)代入解析式,得4a﹣2b+3=0,
∵x=﹣=,
∴a=﹣,b=;
∴y=﹣x2+x+3;
(2)设点Q横坐标x1,点P的横坐标x2,则有x1<x2,
把n=﹣5代入y=﹣mx﹣n,
∴y=﹣mx+5,
联立y=﹣mx+5,y=﹣x2+x+3得:
﹣mx+5=﹣x2+x+3,
∴x2﹣(2m+1)x+4=0,
∴x1+x2=2m+1,x1x2=4,
∵△CPQ的面积为3;
∴S△CPQ=S△CHP﹣S△CHQ,
即HC(x2﹣x1)=3,
∴x2﹣x1=3,
∴﹣4x1x2=9,
∴(2m+1)2=25,
∴m=2或m=﹣3,
∵m>0,
∴m=2;
(3)当n=﹣3m时,PQ解析式为y=﹣mx+3m,
∴H(0,3m),
∵y=﹣mx+3m与y=﹣x2+x+3相交于点P与Q,
∴﹣mx+3m=﹣x2+x+3,
∴x=3或x=2m﹣2,
当2m﹣2<3时,有0<m<,
∵点P在点Q的右边,
∴P(3,0),Q(2m﹣2,﹣2m2+5m),
∴AQ的直线解析式为y=x+5﹣2m,
∴K(0,5﹣2m),
∴HK=|5m﹣5|=5|m﹣1|,
①当0<m<1时,如图①,HK=5﹣5m,
∴S△PQK=S△PHK+S△QHK=HK(xP﹣xQ)=(5﹣5m)(5﹣2m)=5m2﹣m+,
②当1<m<时,如图②,HK=5m﹣5,
∴S△PQK=﹣5m2+m﹣,
③当2m﹣2>3时,如图③,有m>,
∴P(2m﹣2,﹣2m2+5m),Q(3,0),K(0,0),
∴S△PQK=×KQ|yP|=(2m2﹣5m)=3m2﹣m,
综上所述,S=;
知识点:各地中考
题型:综合题