如图，直线y＝－x＋分别与x轴、y轴交于B，C两点，点A在x轴上，∠ACB＝90°，抛物线y＝ax2＋bx＋经...

问题详情：

如图，直线y＝－x＋分别与x轴、y轴交于B，C两点，点A在x轴上，∠ACB＝90°，抛物线y＝ax2＋bx＋经过A，B两点．

(1)求A，B两点的坐标；

(2)求抛物线的解析式；

(3)点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．

第9题图

【回答】

解：(1)∵直线y＝－x＋与x轴交于点B，与y轴交于点C，

∴令x＝0得y＝，令y＝0得x＝3，

∴点B的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，)．

∴tan∠CBO＝＝，

∴∠CBO＝30°，

∴∠BCO＝60°，

∵AC⊥BC，

∴∠ACO＝30°，

∴AO＝CO·tan∠ACO＝×＝1，

∴点A的坐标为(－1，0)；

(2)∵抛物线y＝ax2＋bx＋经过A，B两点，

∴，解得，

∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋；

(3)∵MD∥y轴，

∴∠MDH＝60°，

∵MH⊥BC，

∴∠DMH＝30°，

∴HD＝MD，MH＝MD，

设点D的坐标为(t，－t＋)，则点M的坐标为(t，－t2＋t＋)，

∵点M在BC直线上方抛物线上，

∴MD＝(－t2＋t＋)－(－t＋)

＝－t2＋t

＝－(t－)2＋.

∵0＜t＜3，

∴当t＝时，MD最大，且MD的最大值为，

∴△DMH的周长的最大值为(1＋＋)×＝.

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题