如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，且OA=1，OB=3，顶点为D，对称轴...

问题详情：

如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，且OA=1，OB=3，顶点为D，对称轴交x轴于点Q．

（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；

（2）点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△DCM∽△BQC？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．

【回答】

解：（1）∵OA=1，OB=3，

∴A（﹣1，0），B（3，0）．

代入y=﹣x2+bx+c，得

解得　b=2，c=3．

∴抛物线对应二次函数的表达式为：y=﹣x2+2x+3；

（2）如图，设直线CD切⊙P于点E．连结PE、PA，作CF⊥DQ于点F．

∴PE⊥CD，PE=PA．　

由y=﹣x2+2x+3，得

对称轴为直线x=1，C（0，3）、D（1，4）．

∴DF=4﹣3=1，CF=1，

∴DF=CF，

∴△DCF为等腰直角三角形．

∴∠CDF=45°，

∴∠EDP=∠EPD=45°，

∴DE=EP，

∴△DEP为等腰三角形．

设P（1，m），

∴EP2=（4﹣m）2．　

在△APQ中，∠PQA=90°，

∴AP2=AQ2+PQ2=[1﹣（﹣1）]2+m2

∴（4﹣m）2=[1﹣（﹣1）]2+m2．

整理，得m2+8m﹣8=0

解得，m=﹣4±2．

∴点P的坐标为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）．

（3）存在点M，使得△DCM∽△BQC．

如图，连结CQ、CB、CM，

∵C（0，3），OB=3，∠COB=90°，

∴△COB为等腰直角三角形，

∴∠CBQ=45°，BC=3．

由（2）可知，∠CDM=45°，CD=，

∴∠CBQ=∠CDM．

∴△DCM∽△BQC分两种情况．

当=时，

∴=，解得　DM=．

∴QM=DQ﹣DM=4﹣=．

∴M1（1，）．

当时，

∴=，解得　DM=3．

∴QM=DQ﹣DM=4﹣3=1．

∴M2（1，1）．

综上，点M的坐标为（1，）或（1，1）．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题