问题详情:
如图1,点O为直线AB上一点,过点O作*线OC,使∠AOC=60°.将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处,一边OM在*线OB上,另一边ON在直线AB的下方,其中∠OMN=30°.
(1)将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图2,使一边OM在∠BOC的内部,且恰好平分∠BOC,求∠CON的度数;
(2)将图1中的三角尺绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周,在旋转的过程中,在第______秒时,边MN恰好与*线OC平行;在第______秒时,直线ON恰好平分锐角∠AOC.(直接写出结果);
(3)将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图3,使ON在∠AOC的内部,请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系,并说明理由.
【回答】
【考点】旋转的*质.
【分析】(1)根据邻补角的定义求出∠BOC=120°,再根据角平分线的定义求出∠COM,然后根据∠CON=∠COM+90°解答;
(2)分别分两种情况根据平行线的*质和旋转的*质求出旋转角,然后除以旋转速度即可得解;
(3)用∠AOM和∠CON表示出∠AON,然后列出方程整理即可得解.
【解答】解:(1)∵∠AOC=60°,
∴∠BOC=120°,
又∵OM平分∠BOC,
∴∠COM=∠BOC=60°,
∴∠CON=∠COM+90°=150°;
(2)∵∠OMN=30°,
∴∠N=90°﹣30°=60°,
∵∠AOC=60°,
∴当ON在直线AB上时,MN∥OC,
旋转角为90°或270°,
∵每秒顺时针旋转10°,
∴时间为9或27,
直线ON恰好平分锐角∠AOC时,
旋转角为90°+30°=120°或270°+30°=300°,
∵每秒顺时针旋转10°,
∴时间为12或30;
故*为:9或27;12或30.
(3)∵∠MON=90°,∠AOC=60°,
∴∠AON=90°﹣∠AOM,
∠AON=60°﹣∠NOC,
∴90°﹣∠AOM=60°﹣∠NOC,
∴∠AOM﹣∠NOC=30°,
故∠AOM与∠NOC之间的数量关系为:∠AOM﹣∠NOC=30°.
知识点:图形的旋转
题型:综合题