正方形ABCD中，M，N分别是直线CB，DC上的动点，∠MAN＝45°.(1)如图①，当∠MAN交边CB，DC...

问题详情：

正方形ABCD中，M，N分别是直线CB，DC上的动点，∠MAN＝45°.

(1)如图①，当∠MAN交边CB，DC于点M，N时，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？请*；

(2)如图②，当∠MAN分别交边CB，DC的延长线于点M，N时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以*；

(3)在图①中，若正方形的边长为16 cm，DN＝4 cm，请利用(1)中的结论，试求MN的长．

【回答】

解：(1)BM＋DN＝MN.*：延长CD至点Q，使DQ＝BM，连结AQ，易*△ADQ≌△ABM(SAS)，∴AQ＝AM，∠DAQ＝∠BAM，∴∠QAN＝∠DAN＋∠DAQ＝∠DAN＋∠BAM＝90°－∠MAN＝45°＝∠MAN，∴△AQN≌△ANM(SAS)，∴MN＝QN＝DN＋DQ＝BM＋DN　(2)DN－BM＝MN.*：在DN上截取DK＝BM，连结AK，易*△ADK≌△ABM，∴AK＝AM，∠DAK＝∠BAM，∵∠MAN＝∠BAM＋∠BAN＝∠DAK＋∠BAN＝45°，即∠DAK＋∠BAN＝45°，∴∠KAN＝90°－(∠DAK＋∠BAN)＝90°－45°＝45°，∴∠KAN＝∠MAN＝45°，∴△KAN≌△MAN(SAS)，∴MN＝KN＝DN－DK＝DN－BM　(3)设MN＝x，则BM＝MN－DN＝x－4，CM＝BC－BM＝16－(x－4)＝20－x，在Rt△CMN中，由勾股定理得(16－4)2＋(20－x)2＝x2，解得x＝13.6，∴MN＝13.6 cm

知识点：三角形全等的判定

题型：解答题