问题详情:
椭圆+=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,若椭圆C上恰好有6个不同的点P,使得△F1F2P为等腰三角形,则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A. (,)B. (,1)
C. (,1)D. (,)∪(,1)
【回答】
D
【解析】①当点P与短轴的顶点重合时,
△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形,
此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P;
②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时,
以F2P作为等腰三角形的底边为例,
∵|F1F2|=|F1P|,
∴点P在以F1为圆心,半径为焦距2c的圆上,
因此,当以F1为圆心,半径为2c的圆与椭圆C有2交点时,
存在2个满足条件的等腰△F1F2P,
在△F1F2P1中,|F1F2|+|PF1|>|PF2|,即2c+2c>2a-2c,
由此得知3c>a.所以离心率e>.
当e=时,△F1F2P是等边三角形,与①中的三角形重复,故e≠.
同理,当F1P为等腰三角形的底边时,在e>且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P.
综上,共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形.
综上所述,离心率的取值范围是e∈(,)∪(,1).
知识点:圆锥曲线与方程
题型:选择题