将函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位长度后得到函...

问题详情：

将函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位长度后得到函数f（x）的图象

（1）写出函数f（x）的解析式；

（2）若对任意的x∈[﹣，]，f2（x）﹣mf（x）﹣1≤0恒成立，求实数m的取值范围；

（3）求实数a和正整数n，使得F（x）=f（x）﹣a在[0，nπ]上恰有2017个零点．

【回答】

【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

【分析】（1）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得f（x）的解析式．

（2）令t=f（x）∈[0，1]，则g（t）=t2﹣mt﹣1≤0恒成立，再根据二次函数的*质可得g（0）=﹣1≤0，且 g（1）=﹣m≤0，由此解得m的范围．

（3）由题意可得f（x）的图象和直线y=a在[0，nπ]上恰有2017个交点，分类讨论，求得a、n的值．

【解答】解：（1）把函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得y=sin2x的图象；

再将所得的图象向左平移个单位长度后得到函数f（x）=sin2（x+）=sin（2x+）的图象，

故函数f（x）的解析式为 f（x）=sin（2x+）．

（2）若对任意的x∈[﹣，]，2x+∈[0，]，f（x）=sin（2x+）∈[0，1]，f2（x）﹣mf（x）﹣1≤0恒成立，

令t=f（x）∈[0，1]，则g（t）=t2﹣mt﹣1≤0恒成立，故有g（0）=﹣1≤0，且 g（1）=﹣m≤0，解得m≥0．

（3）∵F（x）=f（x）﹣a在[0，nπ]上恰有2017个零点，故f（x）的图象和直线y=a在[0，nπ]上恰有2017个交点．

在[0，π]上，2x+∈[，]．

①当a＞1，或a＜﹣1时，f（x）的图象和直线y=a在[0，nπ]上无交点．

②当a=1，或a=﹣1时，f（x）的图象和直线y=a在[0，π]仅有一个交点，

此时，f（x）的图象和直线y=a在[0，nπ]上恰有2017个交点，则n=2017．

③当﹣1＜a＜，或＜a＜1时，f（x）的图象和直线y=a在[0，π]上恰有2个交点，

f（x）的图象和直线y=a在[0，nπ]上有偶数个交点，不会有2017个交点．

④当a=时，f（x）的图象和直线y=a在[0，π]上恰有3个交点，

此时，n=1008，才能使f（x）的图象和直线y=a在[0，nπ]上有2017个交点．

综上可得，当a=1，或a=﹣1时，n=2017；当a=时，此时，n=1008．

知识点：三角函数

题型：解答题