问题详情:
设二次函数f(x)=ax2+bx.
(1)若1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围;
(2)当b=1时,若对任意x∈[0,1],-1≤f(x)≤1恒成立,求实数a的取值范围.
【回答】
解 (1)方法一 ⇒
∵f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1),且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,∴5≤f(-2)≤10.
方法二 设f(-2)=mf(-1)+nf(1),
即4a-2b=m(a-b)+n(a+b)=(m+n)a-(m-n)b,比较两边系数:⇒
∴f(-2)=3f(-1)+f(1),
下同方法一.
(2)当x∈[0,1]时,-1≤f(x)≤1,即-1≤ax2+x≤1,
即当x∈[0,1]时,ax2+x+1≥0且ax2+x-1≤0恒成立;
当x=0时,显然,ax2+x+1≥0且ax2+x-1≤0均成立;
当x∈(0,1]时,若ax2+x+1≥0恒成立,则a≥--=-(+)2+,
而-(+)2+在x∈(0,1]上的最大值为-2,∴a≥-2;
当x∈(0,1]时,ax2+x-1≤0恒成立,则a≤-=(-)2-,
而(-)2-在x∈(0,1]上的最小值为0,∴a≤0,
∴-2≤a≤0,而a≠0,因此所求a的取值范围为[-2,0).
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题