已知函式.（Ⅰ）求曲線的斜率為1的切線方程；（Ⅱ）當時，求*：；（Ⅲ）設，記在區間上的最大值為M（a），當M（...

問題詳情：

已知函式.

（Ⅰ）求曲線的斜率為1的切線方程；

（Ⅱ）當時，求*：；

（Ⅲ）設，記在區間上的最大值為M（a），當M（a）最小時，求a的值．

【回答】

（Ⅰ）和.

（Ⅱ）見解析；

（Ⅲ）.

【分析】

(Ⅰ)首先求解導函式，然後利用導函式求得切點的橫座標，據此求得切點座標即可確定切線方程；

(Ⅱ)由題意分別*得和即可*得題中的結論；

(Ⅲ)由題意結合(Ⅱ)中的結論分類討論即可求得a的值.

【詳解】

（Ⅰ），令得或者.

當時，，此時切線方程為，即；

當時，，此時切線方程為，即；

綜上可得所求切線方程為和.

（Ⅱ）設，，令得或者，所以當時，，為增函式；當時，，為減函式；當時，，為增函式；

而，所以，即；

同理令，可求其最小值為，所以，即，綜上可得.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，

所以是中的較大者，

若，即時，；

若，即時，；

所以當最小時，，此時.

【點睛】

本題主要考查利用導函式研究函式的切線方程，利用導函式*不等式的方法，分類討論的數學思想等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.

知識點：導數及其應用

題型：解答題