已知函式f（x）=x3﹣3ax+b（a≠0）．（1）若曲線y=f（x）在點（2，f（x））處與直線y=8相切，...

問題詳情：

已知函式f（x）=x3﹣3ax+b（a≠0）．

（1）若曲線y=f（x）在點（2，f（x））處與直線y=8相切，求a，b的值；

（2）求函式f（x）的單調區間與極值點．

【回答】

【考點】6B：利用導數研究函式的單調*；6D：利用導數研究函式的極值．

【分析】（1）求出函式的導數，得到關於a，b的方程組，解出即可；

（2）求出函式的導數，通過討論a的範圍，求出函式的單調區間，從而求出函式的極值點即可．

【解答】解：（1）f′（x）=3x2﹣3a，

∵曲線y=f（x）在點（2，f（x））處與直線y=8相切，

∴，即，解得：；

（2）∵f′（x）=3（x2﹣a），（a≠0），

當a＜0時，f′（x）＞0，f（x）在R上單調遞增，

此時函式f（x）沒有極值點．

當a＞0時，由f′（x）=0，解得：x=±，

當x∈（﹣∞，﹣）時，f′（x）＞0，函式f（x）單調遞增，

當x∈（﹣，）時，f′（x）＜0，函式f（x）單調遞減，

當x∈[，+∞）時，f′（x）＞0，函式f（x）單調遞增，

∴此時x=﹣是f（x）的極大值點，x=是f（x）的極小值點．

知識點：導數及其應用

題型：解答題