問題詳情:
設函式f′(x)是奇函式f(x)(x∈R)的導函式,f(-1)=0,當x>0時,xf′(x)-f(x)<0,則使得f(x)>0成立的x的取值範圍是( )
A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)
【回答】
A.記函式g(x)=,
則g′(x)=,
因為當x>0時,xf′(x)-f(x)<0,
故當x>0時,g′(x)<0,所以g(x)在(0,+∞)上單調遞減;
又因為函式f(x)(x∈R)是奇函式,故函式g(x)是偶函式,所以g(x)在(-∞,0)上單調遞增,
且g(-1)=g(1)=0.
當0<x<1時,g(x)>0,則f(x)>0;
當x<-1時,g(x)<0,則f(x)>0,
綜上所述,使得f(x)>0成立的x的取值範圍是(-∞,-1)∪(0,1).
知識點:導數及其應用
題型:選擇題