若三個非零實數，，滿足：只要其中一個數的倒數等於另外兩個數的倒數的和，則稱這三個實數，，構成“*三組數”．（...

問題詳情：

若三個非零實數，，滿足：只要其中一個數的倒數等於另外兩個數的倒數的和，則稱這三個實數，，構成“*三組數”．

（1）實數1，2，3可以構成“*三組數”嗎？請說明理由；

（2）若直線與軸交於點，與拋物線交於，兩點．

①求*：，，三點的橫座標，，構成“*三組數”；

②若，，求點與原點的距離的取值範圍．

【回答】

（1）不能，理由見解析；（2）①見解析；②且

【分析】

（1）由*三組數的定義進行驗*即可； （2）①由直線解析式可求得x1=-，聯立直線和拋物線解析式消去y，利用一元二次方程根與係數的關係可求得x2+x3=-，x2x3=，再利用*三數組的定義*即可； ②由條件可得到a+b+c=0，可得c=-（a+b），由a＞2b＞3c可求得的取值範圍，令m=，利用兩點間距離公式可得到OP2關於m的二次函數，利用二次函數的*質可求得OP2的取值範圍，從而可求得OP的取值範圍．

【詳解】

解：（1）不能，理由如下：

∵1、2、3的倒數分別爲1、、，

∴，，

∴實數1，2，3不可以構成“*三組數”；

（2）①∵、、均不爲0，

∴，，都不爲0，

∵直線與軸交於點，

∴，解得，

聯立直線與拋物線解析式，消去可得，即，

∵直線與拋物線交與，兩點，

∴、是方程的兩根，

∴，，

∴，

∴，，構成“*三組數”；

②∵，

∴，

∴；

∵，

∴，且，整理可得，

解得，∵

∴，

令，則且，且，

∵

∴當時，隨的增大而減小，當時，有最大臨界值，當時，有最小臨界值，

當時，隨的增大而增大，當時，有最小臨界值，當時，有最大臨界值，

∴且，

∵到原點的距離爲非負數，

∴且．

【點睛】

本題爲二次函數的綜合應用，涉及新定義、函數圖象的交點、一元二次方程根與係數的關係、勾股定理、二次函數的*質、分類討論思想及轉化思想等知識．在（1）中注意利用*三數組的定義，在（2）①中用a、b、c分別表示出x1，x2，x3是解題的關鍵，在（2）②中把OP2表示成二次函數的形式是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合*較強，特別是最後一問，難度很大．

知識點：二次函數單元測試

題型：解答題