問題詳情:
如圖,二次函數y=x2+bx+c的圖象過點B(0,1)和C(4,3)兩點,與x軸交於點D、點E,過點B和點C的直線與x軸交於點A.
(1)求二次函數的解析式;
(2)在x軸上有一動點P,隨着點P的移動,存在點P使△PBC是直角三角形,請你求出點P的座標;
(3)若動點P從A點出發,在x軸上沿x軸正方向以每秒2個單位的速度運動,同時動點Q也從A點出發,以每秒a個單位的速度沿*線AC運動,是否存在以A、P、Q爲頂點的三角形與△ABD相似?若存在,直接寫出a的值;若不存在,說明理由.
【回答】
(1)拋物線解析式y=x2–x+1;(2)點P座標爲(1,0),(3,0),(,0),(,0);(3)a=或.
【分析】
(1) 將B、C兩點座標代入二次函數解析式,通過聯立方程組可求得b、c的值,進而求出函數解析式;
(2)設P(x,0),由△PBC是直角三角形,分∠CBP=90°與∠BPC=90°兩種情況討論,運用勾股定理可得x的值,進而得到P點座標;
(3)假設成立有△APQ∽△ADB或△APQ∽△ABD,則對應邊成比例,可求出a的值.
【詳解】
(1)∵二次函數y=0.5x2+bx+c的圖象過點B(0,1)和C(4,3)兩點,
∴,解得,
∴拋物線解析式y=x2–x+1.
(2)設點P座標爲(x,0).
∵點P(x,0),點B(0,1),點C(4,3),
∴PB==,
CP= =,
BC= =2,
若∠BCP=90°,則BP2=BC2+CP2.
∴x2+1=20+x2–8x+25,∴x=.
若∠CBP=90°,則CP2=BC2+BP2.
∴x2+1+20=x2–8x+25,∴x=.
若∠BPC=90°,則BC2=BP2+CP2.
∴x2+1+x2–8x+25=20,
∴x1=1,x2=3,
綜上所述:點P座標爲(1,0),(3,0),(,0),(,0).
(3)a=或.
∵拋物線解析式y=x2–x+1與x軸交於點D,點E,
∴0=x2–x+1,∴x1=1,x2=2,∴點D(1,0).
∵點B(0,1),C(4,3),
∴直線BC解析式y=x+1.
當y=0時,x=–2,∴點A(–2,0).
∵點A(–2,0),點B(0,1),點D(1,0),
∴AD=3,AB=.
設經過t秒,∴AP=2t,AQ=at,
若△APQ∽△ADB,
∴,即,∴a=,
若△APQ∽△ABD,∴,即,∴a=.
綜上所述:a=或.
【點睛】
此題考查了二次函數解析式的確定、 直角三角形的判定以及相似三角形的*質等, 難度適中.
知識點:二次函數單元測試
題型:解答題