(在平面直角座標系xOy中，曲線y＝x2－6x＋1與座標軸的交點都在圓C上．(1)求圓C的方程；(2)若圓C...

問題詳情：

 (在平面直角座標系xOy中，曲線y＝x2－6x＋1與座標軸的交點都在圓C上． (1)求圓C的方程； (2)若圓C與直線x－y＋a＝0交於A，B兩點，且OA⊥OB，求a的值．

【回答】

– 

解：(1)曲線y＝x2－6x＋1與y軸的交點爲(0，1)，與x軸的交點爲(3＋2，0)，

(3－2，0)．

故可設圓C的圓心爲(3，t)，則有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1.

則圓C的半徑爲＝3.

所以圓C的方程爲(x－3)2＋(y－1)2＝9.

(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，其座標滿足方程組：（x－3）2＋（y－1）2＝9.(x－y＋a＝0，)

消去y，得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.

由已知可得，判別式Δ＝56－16a－4a2>0.

從而x1＋x2＝4－a，x1x2＝2(a2－2a＋1).①

由於OA⊥OB，所以即x1x2＋y1y2＝0，又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.②

由①②得a＝－1，滿足Δ>0，故a＝－1.

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題