問題詳情:
如圖,在平面直角座標系xOy中,點A是反比例函數y=(x>0,m>1)圖象上一點,點A的橫座標爲m,點B(0,﹣m)是y軸負半軸上的一點,連接AB,AC⊥AB,交y軸於點C,延長CA到點D,使得AD=AC,過點A作AE平行於x軸,過點D作y軸平行線交AE於點E.
(1)當m=3時,求點A的座標;
(2)DE= ,設點D的座標爲(x,y),求y關於x的函數關係式和自變量的取值範圍;
(3)連接BD,過點A作BD的平行線,與(2)中的函數圖象交於點F,當m爲何值時,以A、B、D、F爲頂點的四邊形是平行四邊形?
【回答】
(1)當m=3時,y=,
∴當x=3時,y=6,
∴點A座標爲(3,6);
(2)如圖,延長EA交y軸於點F,
∵DE∥x軸
∴∠FCA=∠EDA,∠CFA=∠DEA,
∵AD=AC,
∴△FCA≌△EDA,
∴DE=CF,
∵A(m,m2﹣m),B(0,﹣m),
∴BF=m2﹣m﹣(﹣m)=m2,AF=m,
∵Rt△CAB中,AF⊥x軸,
∴△AFC∽△BFA,
∴AF2=CF•BF,
∴m2=CF•m2,
∴CF=1,
∴DE=1,
故*爲:1;
由上面步驟可知,點E座標爲(2m,m2﹣m),
∴點D座標爲(2m,m2﹣m﹣1),
∴x=2m,
y=m2﹣m﹣1,
∴把m=代入y=m2﹣m﹣1,
∴y=(x>2);
(3)由題意可知,AF∥BD
當AD、BF爲平行四邊形對角線時,
由平行四邊形對角線互相平分可得A、D和B、F的橫座標、縱座標之和分別相等
設點F座標爲(a,b)
∴a+0=m+2m
b+(﹣m)=m2﹣m+m2﹣m﹣1
∴a=3m,b=2m2﹣m﹣1
代入y=,得
2m2﹣m﹣1=,
解得m1=2,m2=0(捨去)
當FD、AB爲平行四邊形對角線時,
同理設點F座標爲(a,b),
則a=﹣m,b=1﹣m,則F點在y軸左側,由(2)可知,點D所在圖象不能在y軸左側
∴此情況不存在,
綜上當m=2時,以A、B、D、F爲頂點的四邊形是平行四邊形.
知識點:各地中考
題型:綜合題