問題詳情:
如圖,拋物線y=x2﹣bx﹣5與x軸交於A、B兩點(點A在點B的左側),與y軸交於點C,點C與點F關於拋物線的對稱軸對稱,直線AF交y軸於點E,|OC|:|OA|=5:1.
(1)求拋物線的解析式;
(2)求直線AF的解析式;
(3)在直線AF上是否存在點P,使△CFP是直角三角形?若存在,求出P點座標;若不存在,說明理由.
【回答】
【考點】二次函數綜合題.
【分析】(1)根據拋物線解析式求出OC的長度,再根據比例求出OA的長度,從而得到點A的座標,然後把點A的座標代入拋物線解析式計算求出b,即可得到拋物線解析式;
(2)根據點C、F關於對稱軸對稱可得點F的縱座標與點C的縱座標相等,設出點F的座標爲(x0,﹣5),代入拋物線求出點F的橫座標,然後利用待定係數法求直線函數解析式求解即可;
(3)分①點P與點E重合時,△CFP是直角三角形,②CF是斜邊時,過C作CP⊥AF於點P,然後根據點C、E、F的座標求出PC=PF,從而求出點P在拋物線對稱軸上,再根據拋物線的對稱軸求解即可.
【解答】解:(1)∵y=x2﹣bx﹣5,
∴|OC|=5,
∵|OC|:|OA|=5:1,
∴|OA|=1,
即A(﹣1,0),
把A(﹣1,0)代入y=x2﹣bx﹣5得:
(﹣1)2+b﹣5=0,
解得b=4,
拋物線的解析式爲y=x2﹣4x﹣5;
(2)∵點C與點F關於對稱軸對稱,C(0,﹣5),設F(x0,﹣5),
∴x02﹣4x0﹣5=﹣5,
解得x0=0(捨去),或x0=4,
∴F(4,﹣5),
∴對稱軸爲直線x=2,
設直線AF的解析式爲y=kx+b,
把F(4,﹣5),A(﹣1,0),代入y=kx+b,
得,
解得,
所以,直線FA的解析式爲y=﹣x﹣1;
(3)存在.
理由如下:①當∠FCP=90°時,點P與點E重合,
∵點E是直線y=﹣x﹣1與y軸的交點,
∴E(0,﹣1),
∴P(0,﹣1),
②當CF是斜邊時,過點C作CP⊥AF於點P(x1,﹣x1﹣1),
∵∠ECF=90°,E(0,﹣1),C(0,﹣5),F(4,﹣5),
∴CE=CF,
∴EP=PF,
∴CP=PF,
∴點P在拋物線的對稱軸上,
∴x1=2,
把x1=2代入y=﹣x﹣1,得
y=﹣3,
∴P(2,﹣3),
綜上所述,直線AF上存在點P(0,﹣1)或(2,﹣3)使△CFP是直角三角形.
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:解答題