問題提出(1)如圖①，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝5，則△ABC的外接圓半徑R的值爲 ．問題探...

問題詳情：

 問題提出

(1)如圖①，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝5，則△ABC的外接圓半徑R的值爲  ．

問題探究

(2)如圖②，⊙O的半徑爲13，弦AB＝24，M是AB的中點，P是⊙O上一動點，求PM的最大值．

問題解決

(3)如圖③所示，AB、AC、BC是某新區的三條規劃路其中，AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，BC所對的圓心角爲60°．新區管委會想在BC路邊建物資總站點P，在AB、AC路邊分別建物資分站點E、F．也就是，分別在、線段AB和AC上選取點P、E、F．由於總站工作人員每天要將物資在各物資站點間按P→E→F→P的路徑進行運輸，因此，要在各物資站點之間規劃道路PE、EF和FP．爲了快捷環保和節約成本要使得線段PE、EF、FP之和最短，試求PE＋EF＋FP的最小值(各物資站點與所在道路之間的距離、路寬均忽略不計)．

圖①                    圖②                      圖③

【回答】

【詳解】（1）如圖（1），設外接圓的圓心爲O，連接OA， OB，

∵O是等腰三角形ABC的外心，AB=AC，

∴∠BAO=∠OAC=∠BAC==60°，

∵OA=OB，

∴△AOB是等邊三角形，

∴OB=AB=5，

故*爲：5；

（2）如圖（2）所示，連接MO並延長交⊙O於N，連接OP，

顯然，MP≤OM＋OP＝OM＋ON＝MN，ON＝13，OM＝＝5，MN＝18，

∴PM的最大值爲18；

（3） 如圖（3）所示，假設P點即爲所求點，分別作出點P關於AB、AC的對稱點P´、P＂連接PP´、P´E，PE，P＂F，PF，PP＂

由對稱*可知PE＋EF＋FP＝P´E＋EF＋FP＂＝P´P＂，且P´、E、F、P＂在一條直線上，所以P´P＂即爲最短距離，其長度取決於PA的長度，

如圖（4），作出弧BC的圓心O，連接AO，與弧BC交於P，P點即爲使得PA最短的點，∵AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，

∴∆ABC是直角三角形，∠ABC＝30°，BC＝3，

BC所對的圓心角爲60°，∴∆OBC是等邊三角形，∠CBO＝60°，BO＝BC＝3，

∴∠ABO＝90°，AO＝3，PA＝3－3，

∠P´AE＝∠EAP，∠PAF＝∠FAP＂，

∴∠P´AP＂＝2∠ABC＝120°，P´A＝AP＂，

∴∠AP´E＝∠AP＂F＝30°，

∵P´P＂＝2P´Acos∠AP´E＝P´A＝3－9，

所以PE＋EF＋FP的最小值爲3－9km．

知識點：各地中考

題型：綜合題