已知函數f(x)＝mex(x＋1)(m≠0)；g(x)＝lnx－ax－a2－3a＋1。(1)若f(x)在(0，...

問題詳情：

已知函數f(x)＝mex(x＋1)(m≠0)；g(x)＝lnx－ax－a2－3a＋1。

(1)若f(x)在(0，m)處的切線的方程爲y＝－8x－4，求此時f(x)的最值；

(2)若對任意x∈[1，＋∞)，a∈[－1，0)，不等式g(x)>f(a)恆成立，求實數m的取值範圍。

請考生在第22、23題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分。做答時請寫清題號。

【回答】

解：(1)f(x)=mex(x+2)  令x=0得： f(0)=2m   由題意：2m=-8    ∴m=-4

f(x)=-4 ex(x+2)   由f(x)>0得：x<-2, 由f(x)<0得：x>-2

∴f(x)在(-∞,-2)上單調遞增；在(-2,+∞)上單調遞減

∴fmax(x)=f(-2)=,無最小值；

(2) g(x)>f(a) lnx-ax-a2-3a+1> mea(a+1)  lnx-ax> mea(a+1) +a2+3a-1

(lnx-ax)min> mea(a+1) +a2+3a-1

令φ(x)= lnx-ax    ∵a∈[-1,0)   ∴φ(x)= lnx-ax在[1,+∞)上單調遞增   φmin(x)=φ(1)=-a

∴(lnx-ax)min> mea(a+1) +a2+3a-1-a> mea(a+1) +a2+3a-1 mea(a+1) +a2+4a-1<0

令h(a)= mea(a+1) +a2+4a-1, a∈[-1,0)

①    

當-m2即m≥-2時，h(a)>0,∴h(a)在[-1,0)上單調遞增，若使h(a)<0恆成立，只需h(0)0

m1    ∴m∈[-2,0)∪(0,1]

②當-m≥2e即m-2e時, h(a)0  ∴h(a)在[-1,0)上單調遞減，若使h(a)<0恆成立，只需h(-1)0   即-4<0   m-2e合題意；

∴-2e<m<-2  合題意

綜上，m的取值範圍爲(-∞,0)∪(0,1]

法二：離參法

①若a=-1，則-4<0恆成立，m≠0合題意；

∵a∈(-1,0)    ∴t(a)>0    t(a)在(-1,0)上單調遞增

由題意：-mt(0)=-1    即m1   又∵m≠0

∴m的取值範圍爲(-∞,0)∪(0,1]

知識點：基本初等函數I

題型：解答題