某工藝品廠要設計一個如圖1所示的工藝品，現有某種型號的長方形材料如圖2所示，其周長為4m，這種材料沿其對角線折...

問題詳情：

某工藝品廠要設計一個如圖1所示的工藝品，現有某種型號的長方形材料如圖2所示，其周長為4m，這種材料沿其對角線摺疊後就出現圖1的情況．如圖，ABCD（AB＞AD）為長方形的材料，沿AC摺疊後AB'交DC於點P，設△ADP的面積為S2 ， 摺疊後重合部分△ACP的面積為S1 ． （Ⅰ）設AB=xm，用x表示圖中DP的長度，並寫出x的取值範圍； （Ⅱ）求面積S2最大時，應怎樣設計材料的長和寬？ （Ⅲ）求面積（S1+2S2）最大時，應怎樣設計材料的長和寬？

【回答】

解：（Ⅰ）由題意，AB=x，BC=2﹣x，∵x＞2﹣x，∴1＜x＜2

設DP=y，則PC=x﹣y，由△ADP≌△CB'P，故PA=PC=x﹣y，

由PA2=AD2+DP2，得（x﹣y）2=（2﹣x）2+y2

即：  .

（Ⅱ）記△ADP的面積為S2，則  ．

若且唯若  時，S2取得最大值．

故當材料長為  ，寬為  時，S2最大．

（Ⅲ）

於是令  ，∴

∴關於x的函數  在  上遞增，在  上遞減，

∴當  時，S1+2S2取得最大值．

故當材料長為  ，寬為  時，S1+2S2最大

知識點：函數的應用

題型：綜合題