我國南北朝時期的數學家祖𣈶（傑出數學家祖沖之的兒子），提出了計算體積的祖𣈶原理：“冪勢既同，則積不容異．”意思...

問題詳情：

我國南北朝時期的數學家祖𣈶（傑出數學家祖沖之的兒子），提出了計算體積的祖𣈶原理：“冪勢既同，則積不容異．”意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等．已知曲線：，直線為曲線在點處的切線．如圖所示，*影部分為曲線、直線以及軸所圍成的平面圖形，記該平面圖形繞軸旋轉一週所得的幾何體為．過作的水平截面，所得截面面積______（用表示），試藉助一個圓錐，並利用祖𣈶原理，得出體積為______．

【回答】

【分析】

根據導數的幾何意義求出直線的方程，利用兩個圓的面積作差可得，將一個底面半徑為，高為的圓錐的底面與幾何體為的底面放在同一水平面上，可以計算得到該圓錐與幾何體在所有等高處的水平截面的面積相等，再根據圓錐的體積公式可求得結果.

【詳解】

由，得，所以直線的斜率，

所以直線的方程為，即，

所以.

將一個底面半徑為，高為的圓錐的底面與幾何體為的底面放在同一水平面上，則過的水平截面截圓錐所得截面的半徑為，截面面積為,根據祖𣈶原理可知，該圓錐與幾何體的體積相等，

所以幾何體的體積為.

故*為：；.

【點睛】

本題考查了導數的幾何意義，考查了祖𣈶原理，考查了圓錐的體積公式，屬於中檔題.

知識點：空間幾何體

題型：填空題