已知某單位*、乙、*三個部門的員工人數分別為24，16，16.現採用分層抽樣的方法從中抽取7人，進行睡眠時間的...

問題詳情：

已知某單位*、乙、*三個部門的員工人數分別為24，16，16.現採用分層抽樣的方法從中抽取7人，進行睡眠時間的調查.

（I）應從*、乙、*三個部門的員工中分別抽取多少人？

（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查.

（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數，求隨機變量X的分佈列與數學期望；

（ii）設A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發生的概率.

【回答】

（Ⅰ）從*、乙、*三個部門的員工中分別抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）*見解析；（ii）．

【解析】

分析：（Ⅰ）由分層抽樣的概念可知應從*、乙、*三個部門的員工中分別抽取3人，2人，2人．

（Ⅱ）（i）隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3．且分佈列為超幾何分佈，即P（X=k）=（k=0，1，2，3）．據此求解分佈列即可，計算相應的數學期望為．

（ii）由題意結合題意和互斥事件概率公式可得事件A發生的概率為．

詳解：（Ⅰ）由已知，*、乙、*三個部門的員工人數之比為3∶2∶2，

由於採用分層抽樣的方法從中抽取7人，

因此應從*、乙、*三個部門的員工中分別抽取3人，2人，2人．

（Ⅱ）（i）隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3．

P（X=k）=（k=0，1，2，3）．

所以，隨機變量X的分佈列為

隨機變量X的數學期望．

（ii）設事件B為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有1人，睡眠不足的員工有2人”；

事件C為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有2人，睡眠不足的員工有1人”，

則A=B∪C，且B與C互斥，

由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，

故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=．

所以，事件A發生的概率為．

點睛：本題主要在考查超幾何分佈和分層抽樣.超幾何分佈描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數．超幾何分佈的特徵是：①考查對象分兩類；②已知各類對象的個數；③從中抽取若干個個體，考查某類個體個數X的概率分佈，超幾何分佈主要用於抽檢產品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質是古典概型．進行分層抽樣的相關計算時，常利用以下關係式巧解：(1) ；(2)總體中某兩層的個體數之比＝樣本中這兩層抽取的個體數之比．

知識點：統計案例

題型：解答題