我們常見的炒菜鍋和鍋蓋都是拋物面，經過鍋心和蓋心的縱斷面是由兩段拋物線組合而成的封閉圖形，不妨簡稱為“鍋線”．...

問題詳情：

我們常見的炒菜鍋和鍋蓋都是拋物面，經過鍋心和蓋心的縱斷面是由兩段拋物線組合而成的封閉圖形，不妨簡稱為“鍋線”．鍋口直徑為6dm，鍋深3dm，鍋蓋高1dm（鍋口直徑與鍋蓋直徑視為相同），建立直角座標系如圖1所示，如果把鍋縱斷面的拋物線記為C1，把鍋蓋縱斷面的拋物線記為C2．

（1）求C1和C2的解析式；

（2）如圖2，過點B作直線BE：y=x﹣1交C1於點E（﹣2，﹣），連接OE、BC，在x軸上求一點P，使以點P、B、C為頂點的△PBC與△BOE相似，求出P點的座標；

（3）如果（2）中的直線BE保持不變，拋物線C1或C2上是否存在一點Q，使得△EBQ的面積最大？若存在，求出Q的座標和△EBQ面積的最大值；若不存在，請説明理由．

【回答】

解：（1）由題意A（﹣3，0），B（3，0），C（0，1），D（0，﹣3）

設拋物線記為C2的解析式為y=ax2+c，

把B（3，0），C（0，﹣1）代入得到，解得，

∴拋物線記為C2的解析式為y=﹣x2+1，

同法可得拋物線記為C1的解析式為y=x2﹣3．

（2）∵y=x﹣1交C1於點E（﹣2，﹣），

∴BE==，

設直線BE與y軸的交點為F，

由y=x﹣1，可得F（0，﹣1），

∵OF=OC=1，OB=OB，∠BOC=∠BOF，

∴△BOC≌△BOF，

∴∠OBC=∠EOB，

因此可能存在兩種情形，設P（x，0），

①當△PBC∽△OBE時， =，即=，解得x=，

∴點P座標為（，0）．

②當△PBC∽△EBO時， =，即=，解得x=﹣，

∴點P座標為（﹣，0）．

③∵∠OBC≠∠AOE，

∴不存在點P在點B右側的情形，

綜上所述，滿足條件的點P座標（，0）或（﹣，0）．

（3）要使△EBQ的面積最大，則點Q到直線BE的距離最大時，過點Q的直線與直線BE平行，且與拋物線只有一個交點．

①如圖1中，當點Q在C1上時，

設與拋物線只有一個交點的直線為y=x+b，則點Q（x， x+b），代入y=x2﹣3，得到x2﹣3=x+b，整理得x2﹣x﹣9﹣3b=0，

∵△=0，

∴1﹣4（﹣9﹣3b）=0，

∴b=﹣，

∴y=x﹣，

由，解得，

∴Q（，﹣），

過Q作x軸的垂線交直線BE於M，

把x=代入y=x﹣1，可得M（，﹣），

∴MQ=﹣﹣（﹣）=，

∴△EBQ面積的最大值為××（2+3）=．

②如圖2中，當Q在C2上時，

設與拋物線只有一個交點的直線為y=x+b′，則Q（x， x+b′），代入y=﹣x2+1，可得x2+3x﹣9+9b′=0，

∵△=0，

∴9﹣4（9b′﹣9）=0，

∴b′=，

∴y=x+，與y=﹣x2+1聯列方程組，解得Q（﹣，），連接EQ，交x軸於N．

易知直線QE的解析式為y=x+8，

∴N（﹣，0），

∴BN=3﹣（﹣）=，

∴△QEB的面積最大值為××[﹣（﹣）]= =，

∵＞，

∴△EBQ的面積的最大值為，此時Q（﹣，）．

知識點：相似三角形

題型：綜合題