閲讀理解題：對於任意由0，1組成的一列數．將原有的每個1變成01，並將每個原有的0變成10稱為一次變換．如10...

問題詳情：

閲讀理解題：

對於任意由0，1組成的一列數．將原有的每個1變成01，並將每個原有的0變成10稱為一次變換．如101經過一次變換成為011001．請你經過思考、*作回答下列問題：

（1）將11變換兩次後得到　　；

（2）若100101101001是由某數列兩次變換後得到．則這個數列是　　；

（3）一個10項的數列經過兩次變換後至少有多少對兩個連續相等的數對（即1100）？請*你的結論；

（4）01經過10次*作後連續兩項都是0的數對個數有　　個．

【回答】

【考點】1G：有理數的混合運算．

【分析】（1）根據變換規則解答即可得；

（2）逆用變換規則，反向推理可得*；

（3）由0經過兩次變換後得到0110、1經過兩次變換後得到1001知10項的數列至少有10對連續相等的數對，根據0101010101經過兩次變換後得到0110100101101001…恰有10對連續相等的數對，得出*；

（4）記數列01為A0，k次變換後數列為Ak，連續兩項都是0的數對個數為lk，設Ak中有bk個01數對，Ak+1中的00數對只能由Ak中的01數對得到，可得lk+1=bk，Ak+1中的01數對有2種產生途徑：①由Ak中的1得到；②由Ak中的00得，由此得出k為偶數時，lk關於k的函數表達式，將k=10代入即可得．

【解答】解：（1）將11一次変換得0101，再次變換得10011001，

故*為：10011001；

（2）100101101001一次変換的原數是011001，再次變換的原數是101，

故*為：101；

（3）經過兩次變換後至少有10對兩個連續相等的數對，

∵0經過兩次變換後得到0110，1經過兩次變換後得到1001，

∴10項的數列至少有10對連續相等的數對，

又∵0101010101經過兩次變換後得到0110100101101001…恰有10對連續相等的數對，

∴一個10項的數列經過兩次變換後至少有10對兩個連續相等的數對；

（4）記數列01為A0，k次變換後數列為Ak，連續兩項都是0的數對個數為lk，

設Ak中有bk個01數對，Ak+1中的00數對只能由Ak中的01數對得到，

∴lk+1=bk，Ak+1中的01數對有2種產生途徑：①由Ak中的1得到；②由Ak中的00得到；

根據題意知，Ak中的0和1的個數總是相等，且共有2k+1個，

∴bk+1=lk+2k，

∴lk+2=lk+2k，

由A0：0、1可得A1：1、0、0、1，A2：0、1、1、0、1、0、0、1，

∴l1=1、l2=2，

當k≥3時，

若k為偶數，lk=lk﹣2+2k﹣2、lk﹣2=lk﹣4+2k﹣4、…、l4=l2+22，

上述各式相加可得lk=1+22+24+…+2k﹣2==（2k﹣1），

經檢驗，k=2時也滿足lk=（2k﹣1），

∴當k=10時，l10==341，

故*為：341．

知識點：有理數的乘除法

題型：解答題