某班課題學習小組對無蓋的紙杯進行製作與探究，所要製作的紙杯如圖1所示，規格要求是：杯口直徑AB=6cm，杯底直...

問題詳情：

某班課題學習小組對無蓋的紙杯進行製作與探究，所要製作的紙杯如圖1所示，規格要求是：杯口直徑AB=6cm，杯底直徑CD=4cm，杯壁母線AC=BD=6cm．請你和他們一起解決下列問題：

（1）小顧同學先畫出了紙杯的側面展開示意圖（如圖2，忽略拼接部分），得到圖形是圓環的一部分．

①圖2中弧EF的長為　　cm，弧MN的長為　　cm；

②要想準確畫出紙杯側面的設計圖，需要確定弧MN所在圓的圓心O，如圖3所示．小顧同學發現有=，請你幫她*這一結論．

③根據②中的結論，求弧MN所在圓的半徑r及它所對的圓心角的度數n．

（2）小顧同學計劃利用正方形紙片一張，按如圖*所示的方式剪出這個紙杯的側面，求正方形紙片的邊長．

【回答】

【考點】圓的綜合題．

【專題】綜合題．

【分析】（1）①直接根據圓的周長公式計算；

②設它所對的圓心角的度數為n，根據弧長公式得到的長=，的長=，然後把它們相比即可得到=；

③由（2）中的結論得到得==，加上OF=ON+6，可求得ON=12，再利用弧長公式得到=4π，於是可求出n=60°；

（2）如圖4，連結EF，OB，它們相交於點P，先*△OEF為等邊三角形得到EF=OF=18，再*Rt△AOE≌Rt△COF得到AE=CF，則BE=BF，於是可判斷OB垂直平分EF，所以PF=EF=9，由勾股定理計算出OP==9，由△PFB為等腰直角三角形和得到PB=PF=9，則OB=9+9，然後根據正方形的*質得OC=OB=．

【解答】（1）解：①如圖2，弧EF的長為6πcm，弧MN的長為4πcm；

故*為6π，4π；

②*：如圖3，設它所對的圓心角的度數為n，

的長=，的長=，

所以=；

③由（2）得==，

而OF=ON+6，

解得ON=12，

即r=12，

因為=4π，

解得n=60°；

（2）解：如圖4，連結EF，OB，它們相交於點P，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴OA=OC，∠OBC=45°，

∵∠OEF=60°，OE=OF，

∴△OEF為等邊三角形，

∴EF=OF=18，

在Rt△AOE和Rt△COF中，

，

∴Rt△AOE≌Rt△COF，

∴AE=CF，

∴BE=BF，

∴OB垂直平分EF，

∴PF=EF=9，

∴OP==9，

∵△PFB為等腰直角三角形，

∴PB=PF=9，

∴OB=9+9，

∴OC=OB=，

即正方形紙片的邊長為cm．

【點評】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓的有關*質和正方形的*質；記住弧長公式；學會把幾何題展開成平面圖形的方法解決幾何體的問題．

知識點：弧長和扇形面積

題型：綜合題