問題詳情:
設賽車道在同一水平面上,車輪與地面間的摩擦因數為,且不隨速度變化,問:
(1)當賽車運動員駕車做90°轉彎時,應選擇圖*中的半徑為的圓弧外車道還是半徑為的圓弧內車道?
(2)做180°轉彎時,又應選擇圖乙中的哪個車道?
請作出必要的計算並據此得出結論。為簡化起見,可把賽車作質點處理,且設賽車在剎車減速時四輪同時剎車,並假設賽車在加速過程和減速過程中的加速度的絕對值相等,賽車在直道上高速行駛的速度(空氣阻力忽略不計)。
【回答】
(1)應選擇外道行駛
(2)①當,應選擇內道;
②,應選擇外道;
③當,選擇內、外道均一樣
【解析】
1.先討論賽車沿圓弧運動的最大速度,
賽車圓弧運動時所需的向心力由摩擦力提供,與最大靜摩擦力相應的運動速度就是允許的最大速度. 如果速度再提高,所需的向心力就大於地面所能提供的摩擦力,因而賽車就不可能沿圓弧運動而將發生側向滑動,沿圓弧運動的最大速度-與圓半徑、摩擦因數有下列關係:,
即有. (*)
此即賽車沿圓弧運動的最大速度.
2.計算賽車沿直軌道加速行駛或減速行駛的加速度、所用時間及距離.
設賽車在直道上高速行駛時的速度為,在進入圓弧軌道前要將車速由降至(*)式中的速度. 剎車後,賽車在與地面問的摩擦力作用下減速,賽車的加速度為.
賽車自圓弧軌道終點處開始加速. 據題設,其加速度為.
賽車由增至後,以速度勻速行駛.
根據勻加速運動的公式,加速與減速過程所用的時間和行駛的距離分別為
,.
3.根據以上分析,我們可以比較沿內道賀沿外道所用時間的長短.
(1)90°轉彎時的情況,如圖乙所示.
內道和外道的半徑分別為和,沿圓弧軌道的最大速度和分別為,.
先討論賽車沿外道行駛時的情況.
如圖乙所示,賽車沿外道行駛時,為減速過程,由上面的分析可知.
為沿半徑為的圓周做勻速率圓周運動,則.
為加速過程,時間與相同.
為勻速()運動,為賽車沿內道運動加速至速度為時的位置,所以,.
因而,賽車在全過程中所需時間為
.
賽車沿外道行駛時,減速過程和加速過程的距離和均為.
再討論賽車沿內道行駛時的情況.
如圖乙所示,賽車沿內道行駛時,為勻速()過程;減速過程,為沿半徑為的圓周做勻速率()圓周運動;為加速過程;類似於外道的時間計算可得所需時間為.
賽車沿內道行駛時減速過程和加速過程的距離和均為.
由幾何關係及、可得
,.
由上述兩式及前面的時間關係可得
,.
兩者之差為.
顯然,沿外道所用時間較少,應選擇外道行駛.
(2)180°轉彎時的情況(圖*)
如圖*所示,賽車沿外道行駛時,為減速過程;為勻速率()圓周運動;為加速過程;賽車沿內道行駛時,為勻速()過程;減速過程,為勻速率()圓周運動. 根據前面得到的關係可求得:
賽車沿外道行駛所用時間為.
賽車沿內道行駛所用時間為.
而,故,
.
由上式可得以下結論:
①當,即時,,應選擇圖*中的內道;
②,即時,,應選擇圖*中的外道;
③當,即時,,選擇內、外道均一樣.
知識點:牛頓第一定律
題型:解答題