問題詳情:
發現與探索.
(1)根據小明的解答將下列各式因式分解
① a2-12a+20;②(a-1)2-8(a-1)+7;③ a2-6ab+5b2
(2)根據小麗的思考解決下列問題:
①説明:代數式a2-12a+20的最小值為-16.
②請仿照小麗的思考解釋代數式-(a+1)2+8的最大值為8,並求代數式-a2+12a-8的最大值.
【回答】
(1)①(a-10)(a-2);②(a-7)(a-3);③(a-5b)(a-b);(2)①説明見解析;②﹣a2+12a-8.的最大值為28.
【解析】
分析:(1)①把所給的多項式加上36後再減去36,類比小明的解法,前三項利用完全平方公式因式分解後,再利用平方差公式因式分解即可;②把所給的多項式加上16後再減去16,類比小明的解法,前三項利用完全平方公式因式分解後,再利用平方差公式因式分解即可;③把所給的多項式加上9b2後再減去9b2,類比小明的解法,前三項利用完全平方公式因式分解後,再利用平方差公式因式分解即可;(2)①把所給的多項式化為(a-6)2-16後,根據非負數的*質可得(a-6)2≥0,當x=6時,所給多項式的最小值為-16;②根據非負數的*質可得無論a取何值-(a+1)2都小於等於0,再加上8,即可得代數式-(a+1)2+8小於等於8,所以-(a+1)2+8的最大值為8;把所給的多項式化為﹣(a-6)2+28後,類比上面的解題方法解答即可.
詳解:
(1)①a2-12a+20
原式=a2-12a+36-36+20
=(a-6)2-42
=(a-10)(a-2)
②(a-1)2-8(a-1)+12
原式=(a-1)2-8(a-1)+16-16+12
=(a-5)2-22
=(a-7)(a-3)
③a2-6ab+5b2
原式=a2-6ab+9b2-9b2+5b2
=(a-3b)2-4b2
=(a-5b)(a-b)
(2)根據小明的發現結合小麗的思考解決下列問題.
①説明:代數式a2-12a+20的最小值為﹣16.
a2-12a+20
原式=a2-12a+36-36+20
=(a-6)2-16
無論a取何值(a-6)2都大於等於0,再加上﹣16,
則代數式(a-6)2-16大於等於-16,
則a2-12a+20的最小值為-16
②無論a取何值-(a+1)2都小於等於0,再加上8,
則代數式-(a+1)2+8小於等於8,
則-(a+1)2+8的最大值為8
﹣a2+12a-8.
原式=﹣(a2-12a+8)
=﹣(a2-12a+36-36+8)
=﹣(a-6)2+36-8
=﹣(a-6)2+28
無論a取何值﹣(a-6)2都小於等於0,再加上28,
則代數式﹣(a-6)2+28小於等於28,
則﹣a2+12a-8的最大值為28.
點睛:本題屬於閲讀理解題,考查了因式分解的應用,解題時運用類比思想是解決本題的關鍵.
知識點:因式分解
題型:解答題