一個長為，寬為，質量為的矩形導電線框，由質量均勻分佈的剛*杆構成，靜止放置在不導電的水平桌面上，可繞與線框的一...

問題詳情：

一個長為，寬為，質量為的矩形導電線框，由質量均勻分佈的剛*杆構成，靜止放置在不導電的水平桌面上，可繞與線框的一條邊重合的光滑固定軸ab轉動，在此邊中串接一能輸出可變電流的電流源（圖中未畫出）。線框處在勻強磁場中，磁場的磁感應強度沿水平方向且與轉軸垂直，俯視圖如圖預19-6所示。現讓電流從零逐漸增大，當電流大於某一最小值時，線框將改變靜止狀態。

（1）求電流值。

（2）當線框改變靜止狀態後，設該電流源具有始終保持恆定電流值不變（）的功能。已知在線框運動過程中存在空氣阻力。試分析線框的運動狀況。

【回答】

（1）解法一：

導體線框放在水平桌面上，俯視圖如圖預解19-6-1。由圖可見，在線框沒動之前，線框的邊與邊平行於磁場，因而不受磁場力。邊受的安培力的大小為，方向垂直於桌面向下，但此力對軸的力矩為零。邊受的安培力的大小為，方向垂直桌面向上。此力對固定軸的力矩為

                               ①

除此力矩外，線框還受到重力矩作用。重力力矩等於重力乘線框重心（點）到軸ab的距離，即

                                                         ②

當＝時，桌面對線框的支持力的力矩為零，＞時，線框將改變靜止狀態，開始繞軸ab向上翹起。根據題意及①、②式，由力矩平衡原理可知

                                                     ③

解得

                                                            ④

解法二：

線框所受的重力矩也可以由各邊對ab軸的重力矩來求。邊與邊的重心均在（）處，兩條邊對ab軸的合力矩為

邊對ab軸的力矩為

故線框所受的重力矩為

與解法一求得的②式一致，從而求得與④式相同。

（2）線框處於靜止狀態時，若電流比稍大，線框所受的電磁力矩將大於重力矩，使線框繞ab軸向上翹起。邊和邊所受電磁力不等於零，但二者相互抵消。當保持電流值恆定不變時，線框將從靜止狀態開始繞固定軸作加速轉動。在加速轉動過程中，由於通過線框的磁通量發生變化，線框內將產生感應電動勢，它有使線框中的電流變小的趨勢，題中已設電流源有保持電流恆定不變的功能，所以當線框平面轉至與桌面成角時，如圖預解19-6-2a所示，線框受到的合力矩為

                                         ⑤

隨着角逐漸增大，合力矩隨之減小，但始終大於零，因而線框仍作逆時針加速轉動，角速度不斷增大。當線框平面轉到豎直面時，合力矩為零，角速度達到最大。由於慣*，線框將越過面作逆時針轉到。此時，合力矩與線框轉動方向相反，角速度將逐漸減小，合力矩的大小隨着角的增大而增大，如圖預解19-6-2b所示。

如果沒有空氣阻力，將增至180°。當角等於180° 時，線框轉動的角速度為零，合力矩將使線框作順時針加速轉動，結果線框將在角等於0°與180°之間往復擺動不止。實際上，由於空氣阻力作用，線框平面在平面兩側擺動的幅度將逐漸變小，最終靜止在面處，此時，電磁力矩與重力矩均為零。如果線框稍偏離平衡位置，電磁力矩與重力矩的合力矩將使線框回到平面處。故線框處於穩定平衡狀態。

評分標準：本題20分。第一問6分、第二問14分。

第一問中，①、②、④式各2分。

第二問中，正確地分析了線框往復轉動，給4分；説明最後平衡在豎直面處，給6分；説明穩定平衡，給4分。

知識點：專題六 電場和磁場

題型：計算題