如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝，点E是棱PB的中点．(1)求...

问题详情：

如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝，点E是棱PB的中点．

(1)求直线AD与平面PBC的距离；

(2)若AD＝，求二面角A­EC­D的平面角的余弦值．

【回答】

解析：(1)如图，以A为坐标原点，*线AB、AD，AP分别为x轴、y轴，z轴正半轴，建立空间直角坐标系Axyz.

设D(0，a，0)，则B(，0，0)，C(，a，0)，P(0，0，)，E.

因此，＝，＝(0，a，0)，

＝(，a，－)．

则·＝0，·＝0，所以AE⊥平面PBC.

又由AD∥BC知AD∥平面PBC，故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离，即为||＝.

(2)设平面AEC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，

因为＝，＝(，，0)，

所以

令x1＝－1，得y1＝，z1＝1，

所以n1＝(－1，，1)．

设平面EDC的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，

因为＝，＝(－，0，0)，

所以

令z2＝，得y2＝1.

所以n2＝(0，1，)．

故cos〈n1，n2〉＝＝.

所以二面角A­EC­D的平面角的余弦值为.

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：解答题