如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD, AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1...

问题详情：

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,  AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．用空间向量进行以下*和计算：

(1)*：BE⊥DC；

(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；

(3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，

求二面角F-AB-P的正弦值．

【回答】

解：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图所示)，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)．C由E为棱PC的中点，得E(1，1，1)．

(1)*：向量BE＝(0，1，1)，DC＝(2，0，0)，故BE·DC＝0，

所以BE⊥DC.

(2)向量BD＝(－1，2，0)，PB＝(1，0，－2)．设n＝(x，y，z)为平面PBD的法向量，则即不妨令y＝1，可得n＝(2，1，1)为平面PBD的一个法向量．于是有

cos〈n，BE〉＝＝＝，

所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.

(3) 向量BC＝(1，2，0)，CP＝(－2，－2，2)，AC＝(2，2，0)，AB＝(1，0，0)．由点F在棱PC上，设CF＝λ，0≤λ≤1.

故BF＝BC＋CF＝BC＋λ＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．由BF⊥AC，得BF·AC＝0，因此2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝，即BF＝.设n1＝(x，y，z)为平面FAB的法向量，则即不妨令z＝1，可得n1＝(0，－3，1)为平面FAB的一个法向量．取平面ABP的法向量n2＝(0，1，0)，则cos〈n1，n2〉＝＝＝－〈n1，n2〉＝.所以，二面角F-AB-P的正弦值为.

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：解答题