已知函数f（x）=ln（1+x）﹣x+x2（k≥0）．（Ⅰ）当k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））...

问题详情：

已知函数f（x）=ln（1+x）﹣x+x2（k≥0）．

（Ⅰ）当k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

【回答】

【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6B：利用导数研究函数的单调*．

【分析】（I）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，然后求出切点坐标，再用点斜式写出直线方程，最后化简成一般式即可；

（II）先求出导函数f'（x），讨论k=0，0＜k＜1，k=1，k＞1四种情形，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可．

【解答】解：（I）当K=2时，

由于所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为

．即3x﹣2y+2ln2﹣3=0

（II）f'（x）=﹣1+kx（x＞﹣1）

当k=0时，

因此在区间（﹣1，0）上，f'（x）＞0；在区间（0，+∞）上，f'（x）＜0；

所以f（x）的单调递增区间为（﹣1，0），单调递减区间为（0，+∞）；

当0＜k＜1时，，得；

因此，在区间（﹣1，0）和上，f'（x）＞0；在区间上，f'（x）＜0；

即函数f（x）的单调递增区间为（﹣1，0）和，单调递减区间为（0，）；

当k=1时，．f（x）的递增区间为（﹣1，+∞）

当k＞1时，由，得；

因此，在区间和（0，+∞）上，f'（x）＞0，在区间上，f'（x）＜0；

即函数f（x）的单调递增区间为和（0，+∞），单调递减区间为．

知识点：导数及其应用

题型：解答题