问题详情:
如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),点B(﹣3,0),且OB=OC.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P在抛物线上,且∠POB=∠ACB,求点P的坐标;
(3)抛物线上两点M,N,点M的横坐标为m,点N的横坐标为m+4.点D是抛物线上M,N之间的动点,过点D作y轴的平行线交MN于点E.
①求DE的最大值;
②点D关于点E的对称点为F,当m为何值时,四边形MDNF为矩形.
【回答】
解:(1)∵抛物线与x轴交于点A(﹣1,0),点B(﹣3,0)
∴设交点式y=a(x+1)(x+3)
∵OC=OB=3,点C在y轴负半轴
∴C(0,﹣3)
把点C代入抛物线解析式得:3a=﹣3
∴a=﹣1
∴抛物线解析式为y=﹣(x+1)(x+3)=﹣x2﹣4x﹣3
(2)如图1,过点A作AG⊥BC于点G,过点P作PH⊥x轴于点H
∴∠AGB=∠AGC=∠PHO=90°
∵∠ACB=∠POB
∴△ACG∽△POH
∴
∴
∵OB=OC=3,∠BOC=90°
∴∠ABC=45°,BC==3
∴△ABG是等腰直角三角形
∴AG=BG=AB=
∴CG=BC﹣BG=3﹣=2
∴
∴OH=2PH
设P(p,﹣p2﹣4p﹣3)
①当p<﹣3或﹣1<p<0时,点P在点B左侧或在AC之间,横纵坐标均为负数
∴OH=﹣p,PH=﹣(﹣p2﹣4p﹣3)=p2+4p+3
∴﹣p=2(p2+4p+3)
解得:p1=,p2=
∴P(,)或(,)
②当﹣3<p<﹣1或p>0时,点P在AB之间或在点C右侧,横纵坐标异号
∴p=2(p2+4p+3)
解得:p1=﹣2,p2=﹣
∴P(﹣2,1)或(﹣,)
综上所述,点P的坐标为(,)、(,)、(﹣2,1)或(﹣,).
(3)①如图2,∵x=m+4时,y=﹣(m+4)2﹣4(m+4)﹣3=﹣m2﹣12m﹣35
∴M(m,﹣m2﹣4m﹣3),N(m+4,﹣m2﹣12m﹣35)
设直线MN解析式为y=kx+n
∴ 解得:
∴直线MN:y=(﹣2m﹣8)x+m2+4m﹣3
设D(d,﹣d2﹣4d﹣3)(m<d<m+4)
∵DE∥y轴
∴xE=xD=d,E(d,(﹣2m﹣8)d+m2+4m﹣3)
∴DE=﹣d2﹣4d﹣3﹣[(﹣2m﹣8)d+m2+4m﹣3]=﹣d2+(2m+4)d﹣m2﹣4m=﹣[d﹣(m+2)]2+4
∴当d=m+2时,DE的最大值为4.
②如图3,∵D、F关于点E对称
∴DE=EF
∵四边形MDNF是矩形
∴MN=DF,且MN与DF互相平分
∴DE=MN,E为MN中点
∴xD=xE==m+2
由①得当d=m+2时,DE=4
∴MN=2DE=8
∴(m+4﹣m)2+[﹣m2﹣12m﹣35﹣(﹣m2﹣4m﹣3)]2=82
解得:m1=﹣4﹣,m2=﹣4+
∴m的值为﹣4﹣或﹣4+时,四边形MDNF为矩形.
知识点:各地中考
题型:综合题