抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，A、B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=60°．过弦AB的中点M作...

问题详情：

抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，A、B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=60°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（　　）

A．  B． C．1    D．2

【回答】

C考点： 抛物线的简单*质．

专题： 不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、*质与方程．

分析： 设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣3ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题*．

解答： 解：设|AF|=a，|BF|=b，

由抛物线定义，得AF|=|AQ|，|BF|=|BP|

在梯形ABPQ中，∴2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．

由余弦定理得，

|AB|2=a2+b2﹣2abcos60°=a2+b2﹣ab

*得，|AB|2=（a+b）2﹣3ab，

又∵ab≤（） 2，

∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2

得到|AB|≥（a+b）．

∴≤1，即的最大值为1．

故选C．

点评： 本题着重考查抛物线的定义和简单几何*质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题．

知识点：函数的应用

题型：选择题