问题详情:
如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴正半轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,对称轴为直线x=2,且OA=OC,则下列结论:①abc>0;②9a+3b+c<0;③c>﹣1;④关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为﹣;其中正确的结论个数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【回答】
C
【分析】
由二次函数图象的开口方向、对称轴及与y轴的交点可分别判断出a、b、c的符号,从而可判断①;由图象可知当x=3时,y>0,可判断②;由OA=OC,且OA<1,可判断③;把﹣代入方程整理可得ac2﹣bc+c=0,结合③可判断④;从而可得出*.
【详解】
解:由图象开口向下,可知a<0,
与y轴的交点在x轴的下方,可知c<0,
又对称轴方程为x=2,所以﹣>0,所以b>0,
∴abc>0,故①正确;
由图象可知当x=3时,y>0,
∴9a+3b+c>0,故②错误;
由图象可知OA<1,
∵OA=OC,
∴OC<1,即﹣c<1,
∴c>﹣1,故③正确;
假设方程的一个根为x=﹣,把x=﹣代入方程可得﹣+c=0,
整理可得ac﹣b+1=0,
两边同时乘c可得ac2﹣bc+c=0,
即方程有一个根为x=﹣c,
由②可知﹣c=OA,而当x=OA是方程的根,
∴x=﹣c是方程的根,即假设成立,故④正确;
综上可知正确的结论有三个,
故选:C.
【点睛】
此题主要考查二次函数的图象和*质,解题的关键是正确理解函数图象和*质.
知识点:二次函数的图象和*质
题型:选择题