如图，抛物线与轴交于，与轴交于点．已知直线过两点．（1）求抛物线和直线的表达式；（2）点是抛物线上的一个动点，...

问题详情：

如图，抛物线与轴交于，与轴交于点．已知直线过两点．

（1）求抛物线和直线的表达式；

（2）点是抛物线上的一个动点，

①如图，若点在第一象限内，连接，交直线于点．设的面积为，的面积为，求的最大值；

②如图2，抛物线的对称轴与轴交于点，过点作，垂足为．点是对称轴上的一个动点，是否存在以点为顶点的四边形是平行四边形?

若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【回答】

（1），；（2）①；②存在，点P的坐标为(2，)，点Q的坐标为(1，2)或(1，)

【解析】

（1）把A(-1，0)，B(3，0)代入可求得抛物线的表达式，再求得点C的坐标，把B(3，0)，C的坐标代入即可求解；

（2）①设点D的坐标为(，)，利用待定系数法求得直线PA的表达式为，解方程，求得点P的横坐标为，利用平等线分线段成比例定理求得，得到，利用二次函数的*质即可求解；

②根据等腰直角三角形的*质求得点的坐标为(2，)，分当EF为边和EF为对角线时两种情况讨论，即可求解．

【详解】

（1）把A(-1，0)，B(3，0)代入得：

，

解得：，

∴抛物线的表达式为，

令，则，

∴点C的坐标为(0，3)，

把B(3，0)，C(0，3)代入得：

，

解得：，

∴直线的表达式为；

（2）①∵PA交直线BC于点，

∴设点D的坐标为(，)，

设直线PA的表达式为，

∴，

解得：，

∴直线PA的表达式为，

∴，

整理得：，

解得：(不合题意，舍去)，

∴点D的横坐标为，点P的横坐标为，

分别过点D、P作x轴的垂线，垂足分别为M、N，如图：

∴DM∥PN，OM=，ON=，OA=1，

∴

，

∵，

∴当时，分子取得最大值，即有最大值，最大值为；

②存在，理由如下：

作于G，如图，

∵的对称轴为：，

∴OE=1，

∵B(3，0)，C(0，3)

∵OC=OB=3，∠OCB=90，

∴△OCB是等腰直角三角形，

∵∠EFB=90，BE=OB-OE=2，

∴△OCB是等腰直角三角形，

∴EG=GB=EG=1，

∴点的坐标为(2，)，

当EF为边时，

∵EFPQ为平行四边形，

∴QE=PF，QE∥PF∥轴，

∴点P的横坐标与点F的横坐标同为2，

当时，，

∴点P的坐标为(2，)，

∴QE=PF=3-1=2，

点Q的坐标为(1，2)；

当EF为对角线时，如图，

∵四边形PEQF为平行四边形，

∴QE=PF，QE∥PF∥轴，

同理求得：点P的坐标为(2，)，

∴QE=PF=3-1=2，

点Q的坐标为(1，)；

综上，点P的坐标为(2，)，点Q的坐标为(1，2)或(1，)；

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的解法，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定和*质，平行线公线段成比例定理，等高的三角形的面积的比等于底边的比，二次函数的*质以及平行四边形的对边的判定和*质，（3）注意要分AB是对角线与边两种情况讨论．

知识点：相似三角形

题型：综合题