如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx﹣与抛物线y＝ax2+bx+交于点A、C，与y轴交于点B，点A的坐标为（...

问题详情：

如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx﹣与抛物线y＝ax2+bx+交于点A、C，与y轴交于点B，点A的坐标为（2，0），点C的横坐标为﹣8．

（1）请直接写出直线和抛物线的解析式；

（2）点D是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、C重合），作DE⊥AC于点E．设点D的横坐标为m．求DE的长关于m的函数解析式，并写出DE长的最大值；

（3）平移△AOB，使平移后的三角形的三个顶点中有两个在抛物线上，请直接写出平移后的点A对应点A′的坐标．

【回答】

解：（1）将点A坐标代入直线表达式得：0＝2k﹣，解得：k＝，

故一次函数表达式为：y＝x﹣，则点C坐标为（﹣8，﹣），

同理，将点A、C的坐标代入二次函数表达式并解得：函数表达式为：y＝﹣x2﹣x+；

（2）作DF∥y轴交直线AB于点F，∴∠DFE＝∠OBA，

设点D的横坐标为m，则点D（m，﹣ m2﹣m+），点F（m， m﹣），

DF＝﹣m2﹣m+﹣（m﹣）＝﹣m2﹣m+4，

AB＝＝，sin∠DFE＝sin∠OBA＝，

∴DE＝DF•sin∠DFE＝（﹣m2﹣m+4）＝﹣（m+3）2+5，

故：DE的最大值为5；

（3）设三角形向左平移m个、向上平移n个单位时，三角形有2个顶点在抛物线上，

则平移后点O、A的坐标分别为（﹣m﹣2，n）、（﹣m，n），

将上述两个点坐标代入二次函数表达式得：，

解得：m＝2或，

即点A′（﹣2，3）或（﹣，）．

【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：实验,探究题