問題詳情:
如圖,已知F1、F2是橢圓G:的左、右焦點,直線l:y=k(x+1)經過左焦點F1,且與橢圓G交於A、B兩點,△ABF2的周長爲. (Ⅰ)求橢圓G的標準方程; (Ⅱ)是否存在直線l,使得△ABF2爲等腰直角三角形?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.
【回答】
解:(Ⅰ)設橢圓G的半焦距爲c,因爲直線l與x軸的交點爲(-1,0),故c=1. 又△ABF2的周長爲,即,故a=. 所以,b2=a2-c2=3-1=2. 因此,橢圓G的標準方程爲; 注:本小題也可以用焦點和離心率作爲條件,即將周長換離心率. (Ⅱ)不存在.理由如下:先用反*法*AB不可能爲底邊,即|AF2|≠|BF2|. 由題意知F2(1,0),設A(x1,y1),B(x2,y2),假設|AF2|=|BF2|, 則, 又,,代入上式,消去,得:(x1-x2)(x1+x2-6)=0. 因爲直線l斜率存在,所以直線l不垂直於x軸,所以x1≠x2,故x1+x2=6(與x1≤,x2≤,x1+x2≤2<6,矛盾). 聯立方程,得:(3k2+2)x2+6k2x+3k2-6=0, 所以=6,矛盾. 故|AF2|≠|BF2|. 再*AB不可能爲等腰直角三角形的直角腰. 假設△ABF2爲等腰直角三角形,不妨設A爲直角頂點. 設|AF1|=m,則, 在△AF1F2中,由勾股定理得:,此方程無解. 故不存在這樣的等腰直角三角形. 注:本題也可改爲是否存在直角三角形?會簡單一些.改爲是否存在等腰三角形則不易計算,也可修改橢圓方程使存在等腰直角三角形.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題