已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，當x≥0時，f（x）=x2﹣2x﹣1．（1）求f（x）的函數解析式；（2...

問題詳情：

已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，當x≥0時，f（x）=x2﹣2x﹣1．

（1）求f（x）的函數解析式；

（2）作出函數f（x）的簡圖，寫出函數f（x）的單調區間及最值；

（3）當x的方程f（x）=m有四個不同的解時，求m的取值範圍．

【回答】

【考點】函數解析式的求解及常用方法；函數奇偶*的*質．

【專題】計算題；數形結合；函數的*質及應用．

【分析】（1）當x＜0時，﹣x＞0，由已知的函數式，結合偶函數的定義，即可得到x＜0的表達式，進而得到f（x）的表達式；

（2）根據偶函數的圖象關於原點對稱，畫出圖象，由圖象即可得到單調區間和最值；

（3）x的方程f（x）=m有四個不同的解，即有直線y=m與f（x）的圖象有四個交點，結合圖象即可得到m的取值範圍．

【解答】解：（1）當x＜0時，﹣x＞0，

則當x≥0時，f（x）=x2﹣2x﹣1，

則f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）﹣1=x2+2x﹣1，

∵f（x）是偶函數，∴f（x）=f（﹣x）=x2+2x﹣1，

∴；

（2）函數f（x）的簡圖：

則單調增區間爲[﹣1，0]和[1，+∞），

單調減區間爲（﹣∞，﹣1]和[0，1]；

當x=1或﹣1時，f（x）有最小值﹣2，無最大值；

（3）x的方程f（x）=m有四個不同的解，

即有直線y=m與f（x）的圖象有四個交點，

由圖象可知，m的取值範圍是（﹣2，﹣1）．

【點評】本題考查函數的解析式的求法，注意運用偶函數的定義，考查函數的圖象，以及透過圖象觀察得到函數的*質，以及方程根的個數和函數的圖象的交點個數的關係，屬於中檔題．

知識點：函數的應用

題型：解答題