已知函數f（x）=aln（1+ex）﹣（a+1）x，（其中a＞0），點A（x1，f（x1）），B（x2，f（x...

問題詳情：

已知函數f（x）=aln（1+ex）﹣（a+1）x，（其中a＞0），點A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3））從左到右依次是函數y=f（x）圖象上三點，且2x2=x1+x3．

（Ⅰ）*：函數f（x）在（﹣∞，+∞）上是減函數；

（Ⅱ）求*：△ABC是鈍角三角形；

（Ⅲ）試問△ABC能否是等腰三角形？若能，求△ABC面積的最大值；若不能，請說明理由．

【回答】

考點：

利用導數研究函數的單調*；數量積表示兩個向量的夾角；兩點間距離公式的應用．

專題：

計算題；綜合題；轉化思想．

分析：

（Ⅰ）∵f（x）=aln（1+ex）﹣（a+1）x，欲*函數f（x）在（﹣∞，+∞）上是單調減函數，只須*其導數f′（x）＜0即可；

（Ⅱ）先設A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3））且x1＜x2＜x3，欲*：△ABC是鈍角三角形，只須*其中一個內角爲鈍角即可，結合向量的座標運算，只須*：即得；

（Ⅲ）假設△ABC爲等腰三角形，則只能是，再利用平面內兩點的距離公式將點的座標代入計算，如出現矛盾，則△ABC不可能爲等腰三角形，如不矛盾，則△ABC能是等腰三角形．

解答：

解：（Ⅰ）∵f（x）=aln（1+ex）﹣（a+1）x，∴恆成立，

所以函數f（x）在（﹣∞，+∞）上是單調減函數．（3分）

（Ⅱ）*：據題意A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3））且x1＜x2＜x3，

由（Ⅰ）知f（x1）＞f（x2）＞f（x3），x2=（4分）

可得A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3））三點不共線

（反*法：否則，得x1=x3）

∴

∴（6分）

∵x1﹣x2＜0，x3﹣x2＞0，f（x1）﹣f（x2）＞0，f（x3）﹣f（x2）＜0，∴，∴

即△ABC是鈍角三角形（8分）

（Ⅲ）假設△ABC爲等腰三角形，則只能是

即：（x1﹣x2）2+[f（x1）﹣f（x2）]2=（x3﹣x2）2+[f（x3）﹣f（x2）]2∵x2﹣x1=x3﹣x2∴[f（x1）﹣f（x2）]2=[f（x3）﹣f（x2）]2

即2f（x2）=f（x1）+f（x3）①（11分）

而事實上，②

由於，故（2）式等號不成立．這與（1）式矛盾．

所以△ABC不可能爲等腰三角形．（13分）

點評：

本小題主要考查利用導數研究函數的單調*、數量積表示兩個向量的夾角、兩點間距離公式的應用等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．

知識點：導數及其應用

題型：解答題