問題詳情:
設函數f(x)=x3﹣x2+bx+c(a>0),曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程爲y=1
(1)求b,c的值;
(2)若函數f(x)有且只有兩個不同的零點,求實數a的值.
【回答】
【考點】6H:利用導數研究曲線上某點切線方程;6B:利用導數研究函數的單調*.
【分析】(1)先求f(x)的導數f'(x),再求f(0),由題意知f(0)=1,f'(0)=0,從而求出b,c的值;
(2)求導數,利用f(a)=0,即可求出實數a的值.
【解答】解:(1)因爲函數f(x)=x3﹣x2+bx+c,所以導數f'(x)=x2﹣ax+b,
又因爲曲線y=f(x)在點P(0,f(0))處的切線方程爲y=1,
所以f(0)=1,f'(0)=0,即b=0,c=1.
(2)由(1),得f'(x)=x2﹣ax=x(x﹣a)(a>0)
由f'(x)=0得x=0或x=a,
∵函數f(x)有且只有兩個不同的零點,
所以f(0)=0或f(a)=0,
∵f(0)=1,
∴f(a)=a3﹣+1=0,
∴a=.
知識點:導數及其應用
題型:解答題