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函數f(x)的定義域爲D={x|x≠0},且滿足對於任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x...

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問題詳情:

函數f(x)的定義域爲D={x|x≠0},且滿足對於任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x...

函數f(x)的定義域爲D={x|x≠0},且滿足對於任意x1,x2∈D,有f(xx2)=f(x1)+f(x2).

(1)求f(1)的值;

(2)判斷f(x)的奇偶*並*你的結論;

(3)如果f(4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在(0,+∞)上是增函數,求x的取值範圍.

【回答】

 (1)∵對於任意x1,x2∈D

f(xx2)=f(x1)+f(x2),

∴令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),∴f(1)=0.

(2)f(x)爲偶函數.

*:令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1),

f(-1)=f(1)=0.

x1=-1,x2=xf(-x)=f(-1)+f(x),

f(-x)=f(x),∴f(x)爲偶函數.

(3)依題設有f(4×4)=f(4)+f(4)=2,

由(2)知,f(x)是偶函數,

f(x-1)<2⇔f(|x-1|)<f(16).

f(x)在(0,+∞)上是增函數.

∴0<|x-1|<16,解之得-15<x<17且x≠1.

x的取值範圍是{x|-15<x<17且x≠1}.

知識點:*與函數的概念

題型:解答題

Tags:fx1 FX x2 X1 XX
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