已知橢圓E： +=1的左右頂點分別爲A、B，點P爲橢圓上異於A，B的任意一點．（Ⅰ）求直線PA與PB的斜率乘積...

問題詳情：

已知橢圓E： +=1的左右頂點分別爲A、B，點P爲橢圓上異於A，B的任意一點．

（Ⅰ）求直線PA與PB的斜率乘積的值；

（Ⅱ）設Q（t，0）（t≠），過點Q作與x軸不重合的任意直線交橢圓E於M，N兩點，則是否存在實數t，使得以MN爲直徑的圓恆過點A？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

【回答】

【考點】橢圓的簡單*質．

【專題】計算題；平面向量及應用；圓錐曲線的定義、*質與方程．

【分析】（Ⅰ）由題意知．設點P（x，y）（y≠0），從而可得，從而解得．

（Ⅱ）假設存在實數t，使得以MN爲直徑的圓恆過點A；再設M（x1，y1），N（x2，y2），直線MN的方程爲x=ay+t，（a∈R），聯立化簡可得（2a2+3）y2+4aty+2t2﹣6=0，從而利用韋達定理可得y1+y2=﹣，y1y2=；化簡•=（x1+，y1）（x2+，y2）=a2y1y2+（+t）a（y1+y2）+（+t）2+y1y2，代入化簡可得5t2+6t+3=0，從而解得．

【解答】解：（Ⅰ）．設點P（x，y）（y≠0），

則有，

即，

∴=．

（Ⅱ）假設存在實數t，使得以MN爲直徑的圓恆過點A；

設M（x1，y1），N（x2，y2），

∵MN與x軸不重合，

∴設直線MN的方程爲x=ay+t，（a∈R），

由化簡得，

（2a2+3）y2+4aty+2t2﹣6=0，

由題意可知△＞0成立，且y1+y2=﹣，y1y2=；

•=（x1+，y1）（x2+，y2）

=（ay1+t+，y1）（ay2+t+，y2）

=（ay1+t+）（ay2+t+）+y1y2

=a2y1y2+（+t）a（y1+y2）+（+t）2+y1y2

將y1+y2=﹣，y1y2=代入上式可得，

•=a2﹣（+t）a+（+t）2+=0，

即=0，

即a2（2t2﹣6﹣4t﹣4t2+2t2+4t+6）+2t2﹣6+3（+t）2=0，

即5t2+6t+3=0，

解得，t=﹣（捨去）或t=﹣．

故t=﹣．

【點評】本題考查了橢圓與直線的位置關係的判斷與應用，同時考查了平面向量的應用，同時考查了學生的化簡運算的能力．

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題