問題詳情:
如圖,二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸正半軸相交於A、B兩點,與y軸相交於點C,對稱軸爲直線x=2,且OA=OC,則下列結論:①abc>0;②9a+3b+c<0;③c>﹣1;④關於x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一個根爲﹣;其中正確的結論個數有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
【回答】
C
【分析】
由二次函數圖象的開口方向、對稱軸及與y軸的交點可分別判斷出a、b、c的符號,從而可判斷①;由圖象可知當x=3時,y>0,可判斷②;由OA=OC,且OA<1,可判斷③;把﹣代入方程整理可得ac2﹣bc+c=0,結合③可判斷④;從而可得出*.
【詳解】
解:由圖象開口向下,可知a<0,
與y軸的交點在x軸的下方,可知c<0,
又對稱軸方程爲x=2,所以﹣>0,所以b>0,
∴abc>0,故①正確;
由圖象可知當x=3時,y>0,
∴9a+3b+c>0,故②錯誤;
由圖象可知OA<1,
∵OA=OC,
∴OC<1,即﹣c<1,
∴c>﹣1,故③正確;
假設方程的一個根爲x=﹣,把x=﹣代入方程可得﹣+c=0,
整理可得ac﹣b+1=0,
兩邊同時乘c可得ac2﹣bc+c=0,
即方程有一個根爲x=﹣c,
由②可知﹣c=OA,而當x=OA是方程的根,
∴x=﹣c是方程的根,即假設成立,故④正確;
綜上可知正確的結論有三個,
故選:C.
【點睛】
此題主要考查二次函數的圖象和*質,解題的關鍵是正確理解函數圖象和*質.
知識點:二次函數的圖象和*質
題型:選擇題