已知橢圓C:+=1(a>b>0)的右焦點F(,0),點M(-,)在橢圓C上.(1)求橢圓C的標準方...

問題詳情：

已知橢圓C:+=1(a>b>0)的右焦點F(,0),點M(-,)在橢圓

C上.

(1)求橢圓C的標準方程;

(2)直線l過點F,且與橢圓C交於A,B兩點,過原點O作直線l的垂線,垂足爲P,如果△OAB的面積爲(λ爲實數),求λ的值.

【回答】

解:(1)由題意知c=.

根據橢圓的定義得2a=+,

即a=2.

所以b2=4-3=1.

所以橢圓C的標準方程爲+y2=1.

(2)由題意知△ABO的面積S△ABO=|AB|·|OP|=,

整理得λ=|OP|2-.

①當直線l的斜率不存在時,l的方程是x=.

此時|AB|=1,|OP|=,

所以λ=|OP|2-=-1.

②當直線l的斜率存在時,設直線l的方程是y=k(x-),

設A(x1,y1),B(x2,y2),

由

可得(4k2+1)x2-8k2x+12k2-4=0,

顯然Δ>0,

則

因爲y1=k(x1-),y2=k(x2-),

所以|AB|=

=

=

=.

所以|OP|2=()2=,

此時,λ=-=-1.

綜上所述,λ的值爲-1.

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題